Pertanyaan No. 1
Sebuah perusahaan memproduksi dua jenis produk, A dan B. Harga jual per unit untuk produk A adalah Rp 10.000 dan untuk produk B adalah Rp 15.000. Perusahaan mampu memproduksi maksimal 500 unit produk A dan 300 unit produk B.
Fungsi biaya produksi adalah C(x, y) = 500x + 300y + 50x^2 + 25y^2, di mana x adalah jumlah unit produk A yang diproduksi dan y adalah jumlah unit produk B yang diproduksi.
Tentukan jumlah optimal masing-masing produk untuk memaksimalkan keuntungan perusahaan!
Jawaban :
Langkah 1 :
Fungsi Keuntungan
Perusahaan (Ï€)
Ï€(x, y) = Total Pendapatan - Total Biaya Produksi
Total Pendapatan = Harga jual per
unit * Jumlah unit terjual
Total Pendapatan = (Rp 10.000 * x) + (Rp 15.000 * y)
Total Biaya Produksi = Biaya
produksi + Biaya produksi variabel
Total Biaya Produksi = 500x + 300y + 50x^2 + 25y^2
Jadi, fungsi keuntungan
perusahaan :
Ï€(x, y) = (Rp 10.000 * x) + (Rp
15.000 * y) - (500x + 300y + 50x^2 + 25y^2)
Langkah 2 :
Fungsi Keuntungan (Maksimal) Perusahaan
Fungsi ini dapat dihitung dari turunan parsial terhadap x dan y, yaitu :
∂Ï€/∂x = 10.000 - 500 - 100x
∂Ï€/∂y = 15.000 - 300 - 50y
Langkah 3 :
Selanjutnya kita menetapkan turunan parsial kedua (sama
dengan nol) dan selesaikan sistem persamaan.
∂²Ï€/∂x² = -100
∂²Ï€/∂y² = -50
Langkah 4 :
Selanjutnya kita menetapkan nilai x dan y yang
memaksimalkan keuntungan dengan memecahkan sistem persamaan.
∂Ï€/∂x = 10.000 - 500 - 100x = 0
∂Ï€/∂y = 15.000 - 300 - 50y = 0
Maka, dari persamaan pertama kita mendapatkan :
-100x = -9.500
x = 95
Sedangkan dari persamaan kedua :
-50y = -14.700
y = 294
Jadi, jumlah optimal produk A
yang harus diproduksi adalah 95 unit, dan jumlah optimal produk B yang harus
diproduksi adalah 294 unit untuk memaksimalkan keuntungan perusahaan.
Pertanyaan No. 2
Sebuah perusahaan menghasilkan dua jenis produk, A dan B. Harga jual produk A adalah Rp 50.000 per unit dan produk B adalah Rp 80.000 per unit. Persamaan fungsi total biaya produksi adalah TC = 10,000Q + 5Q^2, di mana Q adalah jumlah total produk yang diproduksi.
Tentukan jumlah produk yang harus diproduksi agar perusahaan mencapai titik impas (break-even point)!
Jawaban :
Titik impas terjadi ketika pendapatan total sama dengan biaya total. Pendapatan total dapat dihitung dengan mengalikan harga jual per unit dengan jumlah produk yang diproduksi, sedangkan biaya total diberikan dalam persamaan fungsi total biaya produksi.
Pendapatan Total (TR) = Harga
Jual A x Jumlah A + Harga Jual B x Jumlah B
Biaya Total (TC) = 10,000Q + 5Q^2 dimana dalam titik impas, TR = TC.
Kita mensubstitusikan nilai-nilai tersebut ke dalam persamaan :
50,000Q + 80,000Q = 10,000Q +
5Q^2
Selanjutnya, sederhanakan persamaan di atas menjadi bentuk kuadrat :
5Q^2 - 40,000Q = 0
Faktorisasi persamaan :
Q(5Q - 40,000) = 0
Maka terdapat dua solusi, yaitu Q = 0
atau Q = 8,000. Karena tidak mungkin memproduksi 0 produk, jumlah produk yang
harus diproduksi agar perusahaan mencapai titik impas adalah 8,000.
Pertanyaan No. 3
Seorang investor memiliki Rp 10
juta untuk diinvestasikan dalam dua pilihan investasi, X dan Y. Tingkat
pengembalian investasi X adalah 8% per tahun, sementara tingkat pengembalian
investasi Y adalah 12% per tahun. Jika investor ingin memperoleh pengembalian
minimal Rp 1,2 juta per tahun, tentukan jumlah yang harus diinvestasikan pada
setiap pilihan investasi!
Jawaban :
Misalkan jumlah yang
diinvestasikan pada investasi X adalah X juta rupiah, dan jumlah yang
diinvestasikan pada investasi Y adalah Y juta rupiah. Kita dapat membuat sistem
persamaan berdasarkan informasi yang diberikan :
X + Y = 10 (karena jumlah total
investasi adalah Rp 10 juta)
0.08X + 0.12Y = 1.2 (karena
pengembalian minimum yang diinginkan adalah Rp 1,2 juta)
Kita dapat menyelesaikan sistem
persamaan ini dengan menggunakan metode substitusi atau eliminasi. Mari kita
gunakan metode eliminasi:
Langkah 1 :
Kali persamaan kedua dengan 100
untuk menghilangkan desimal.
8X + 12Y = 120
Langkah 2 :
Kalikan persamaan pertama dengan
-8, kemudian tambahkan ke persamaan kedua.
-8X - 8Y = -80
+8X + 12Y = 120
4Y = 40
Langkah 3 :
Bagi kedua sisi dengan 4.
Y = 10
Langkah 4 :
Substitusikan nilai Y ke dalam
salah satu persamaan.
X + 10 = 10
X = 0
Jadi, investor harus
menginvestasikan seluruh jumlahnya, yaitu Rp 10 juta, pada investasi Y untuk
memperoleh pengembalian minimal Rp 1,2 juta per tahun.
Pertanyaan No. 4
Suatu toko elektronik menjual dua
produk, yaitu TV dan kulkas. Harga jual TV adalah Rp 5.000.000 dan harga jual
kulkas adalah Rp 8.000.000. Jika pada bulan ini toko tersebut menjual 50 unit
TV dan 30 unit kulkas, hitunglah total pendapatan toko pada bulan ini!
Jawaban :
Pendapatan dari penjualan TV =
Harga jual TV x Jumlah unit TV terjual = Rp 5.000.000 x 50 = Rp 250.000.000
Pendapatan dari penjualan kulkas
= Harga jual kulkas x Jumlah unit kulkas terjual = Rp 8.000.000 x 30 = Rp
240.000.000
Total pendapatan toko pada bulan
ini = Pendapatan dari penjualan TV + Pendapatan dari penjualan kulkas = Rp
250.000.000 + Rp 240.000.000 = Rp 490.000.000
Pertanyaan No. 5
Seorang investor memiliki dua
jenis aset keuangan, saham dan obligasi. Rata-rata pengembalian saham adalah 8%
dengan deviasi standar 12%, sedangkan rata-rata pengembalian obligasi adalah 5%
dengan deviasi standar 6%. Jika investor mengalokasikan 60% portofolio pada
saham dan 40% pada obligasi, berapa rata-rata pengembalian portofolio?
Jawaban:
Untuk menghitung rata-rata
pengembalian portofolio, kita perlu menggunakan bobot alokasi masing-masing
aset keuangan.
Dalam hal ini, alokasi saham adalah 60% dan alokasi obligasi adalah 40%.
Rata-rata pengembalian portofolio
dapat dihitung menggunakan rumus berikut:
Rata-rata pengembalian portofolio
= (Bobot alokasi saham * Rata-rata pengembalian saham) + (Bobot alokasi
obligasi * Rata-rata pengembalian obligasi)
Menggantikan nilai yang diberikan
ke dalam rumus:
Rata-rata pengembalian portofolio
= (0.6 * 0.08) + (0.4 * 0.05)
= 0.048 + 0.02
= 0.068
Jadi, rata-rata pengembalian
portofolio adalah 6.8%.
